Задание 21 · часть 2 · 2 балла · сложный

Теплоход со стоянкой, найдите скорость в неподвижной воде: задание 21 ОГЭ по математике

Если есть стоянка, сначала вычти её из общего времени: так получишь время в пути, например $31 - 19 = 12$ ч. Затем сумма времён по течению и против равна этому числу. После умножения на $v^{2} - u^{2}$ получается квадратное уравнение относительно $v$ . Корень меньше скорости течения не подходит. Для 90 км и течения 4 км/ч: $\frac{90}{x + 4} + \frac{90}{x - 4} = 12$ , после упрощения $x^{2} - 15 x - 16 = 0$ , корни 16 и $- 1$ . Ответ 16 км/ч.

Все типы задания 21

Проверь себя · 1 из 3

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 135 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 22 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 43 часа после отплытия из него.

Как решать задание 21 ОГЭ: собственная скорость

Найди время в движении без стоянки, если она есть.
Обозначь собственную скорость за $v$ .
Составь уравнение: время туда плюс время обратно.
Реши и отбери подходящий корень.

Где ошибаются. Делят на скорости весь путь туда и обратно, 180 км, хотя в условии 90 км в одну сторону. Каждое слагаемое уравнения отвечает за один рейс.

Как проверить ответ. Подставь 16: $90 : 20 = 4,5$ ч и $90 : 12 = 7,5$ ч, вместе 12 ч. Прибавь стоянку 19 ч и получишь 31 ч из условия.

Правило

v_{по теч} = v + u

v_{против} = v - u

v_{плота} = u

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 21: Задачи на движение по реке: лодка, теплоход, плот.

Прототипы банка ФИПИ: 4295BD, 5C1BD4, 730F58, B8D08D

Примеры с решением

Пример 1

Моторная лодка прошла 160 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 18 часов. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Ответ и решение

Ответ: 18

1Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x$ км/ч. По течению скорость равна $x + 2$ км/ч, против течения $x - 2$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
По течению $x + 2$ $\frac{160}{x + 2}$ $160$
Против течения $x - 2$ $\frac{160}{x - 2}$ $160$
3На весь путь ушло 18 часов, откуда $\frac{160}{x + 2} + \frac{160}{x - 2} = 18.$
4Умножим обе части на $(x + 2) (x - 2)$ , где $(x + 2) (x - 2) \neq = 0$ , так как $x > 2$ : $160 (x - 2) + 160 (x + 2) = 18 (x^{2} - 4),$ $320 x = 18 x^{2} - 72, 18 x^{2} - 320 x - 72 = 0.$
5Разделим обе части на $2$ : $9 x^{2} - 160 x - 36 = 0.$
6Дискриминант: $D = (- 160)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 36) = 26896 = 16 4^{2}$ . Корни: $x_{1} = \frac{160 + 164}{18} = 18, x_{2} = \frac{160 - 164}{18} = - \frac{2}{9} .$
7Корень $- \frac{2}{9}$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна $18$ км/ч.
8Ответ: 18 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
По течению	$x + 2$	$\frac{160}{x + 2}$	$160$
Против течения	$x - 2$	$\frac{160}{x - 2}$	$160$

Пример 2

Моторная лодка прошла 45 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 8 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Ответ и решение

Ответ: 12

1Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x$ км/ч. По течению скорость равна $x + 3$ км/ч, против течения $x - 3$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
По течению $x + 3$ $\frac{45}{x + 3}$ $45$
Против течения $x - 3$ $\frac{45}{x - 3}$ $45$
3На весь путь ушло 8 часов, откуда $\frac{45}{x + 3} + \frac{45}{x - 3} = 8.$
4Умножим обе части на $(x + 3) (x - 3)$ , где $(x + 3) (x - 3) \neq = 0$ , так как $x > 3$ : $45 (x - 3) + 45 (x + 3) = 8 (x^{2} - 9),$ $90 x = 8 x^{2} - 72, 8 x^{2} - 90 x - 72 = 0.$
5Разделим обе части на $2$ : $4 x^{2} - 45 x - 36 = 0.$
6Дискриминант: $D = (- 45)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 36) = 2601 = 5 1^{2}$ . Корни: $x_{1} = \frac{45 + 51}{8} = 12, x_{2} = \frac{45 - 51}{8} = - \frac{3}{4} .$
7Корень $- \frac{3}{4}$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна $12$ км/ч.
8Ответ: 12 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
По течению	$x + 3$	$\frac{45}{x + 3}$	$45$
Против течения	$x - 3$	$\frac{45}{x - 3}$	$45$

Пример 3

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 48 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 15 часов после отплытия из него.

Ответ и решение

Ответ: 20

1Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна $x$ км/ч. По течению скорость равна $x + 4$ км/ч, против течения $x - 4$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
По течению $x + 4$ $\frac{48}{x + 4}$ $48$
Против течения $x - 4$ $\frac{48}{x - 4}$ $48$
3Без стоянки теплоход был в движении $15 - 10 = 5$ ч, откуда $\frac{48}{x + 4} + \frac{48}{x - 4} = 5.$
4Умножим обе части на $(x + 4) (x - 4)$ , где $(x + 4) (x - 4) \neq = 0$ , так как $x > 4$ : $48 (x - 4) + 48 (x + 4) = 5 (x^{2} - 16),$ $96 x = 5 x^{2} - 80, 5 x^{2} - 96 x - 80 = 0.$
5Дискриминант: $D = (- 96)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 80) = 10816 = 10 4^{2}$ . Корни: $x_{1} = \frac{96 + 104}{10} = 20, x_{2} = \frac{96 - 104}{10} = - \frac{4}{5} .$
6Корень $- \frac{4}{5}$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость теплохода в неподвижной воде равна $20$ км/ч.
7Ответ: 20 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
По течению	$x + 4$	$\frac{48}{x + 4}$	$48$
Против течения	$x - 4$	$\frac{48}{x - 4}$	$48$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 21

Теплоход со стоянкой: скорость течениясложный
Баржа: разные пути туда и обратносложный
Плот и яхта на рекепро
Два сосуда с раствором кислотысложный
Средняя скорость на трёх участкахсложный
Средняя скорость на двух половинах путисложный
Встреча велосипедистов, один с остановкойсложный

Все 19 типов задания 21 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)