Задание 22 · часть 2 · 2 балла · про

При каких k прямая y = kx не имеет общих точек с графиком дроби с |x|: задание 22 ОГЭ по математике

Разложи знаменатель: $∣ x ∣ - 2,5 x^{2} = ∣ x ∣ (1 - 2,5 ∣ x ∣)$ , а числитель равен $- (1 - 2,5 ∣ x ∣)$ . После сокращения $y = - \frac{1}{∣ x ∣}$ : две ветви ниже оси $O x$ , симметричные относительно $O y$ , с двумя выколотыми точками. Прямая $y = k x$ при $k \neq 0$ пересекает одну ветвь ровно один раз, общих точек нет, если эта точка выколотая. Добавь $k = 0$ : ось $O x$ график не пересекает. Если числитель равен $1 - 2,5 ∣ x ∣$ , получится $y = \frac{1}{∣ x ∣}$ с ветвями выше оси, рассуждение то же.

Все типы задания 22

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 22 ОГЭ: дробь с модулем и прямая y = kx

Найди область определения: $x \neq 0$ и нули второго множителя.
Сократи дробь и раскрой модуль.
Найди обе выколотые точки.
Посчитай $k$ через выколотые точки и добавь $k = 0$ .

Где ошибаются. Путают дробь для $k$ : берут $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ вместо $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ . Для $y = \frac{6 ∣ x ∣ - 1}{∣ x ∣ - 6 x^{2}}$ выколота точка $(\frac{1}{6}; - 6)$ , и $k = - 6 : \frac{1}{6} = - 36$ , а не $- \frac{1}{36}$ .

Как проверить ответ. Подставь $k$ в прямую: $y = - 36 x$ при $x = \frac{1}{6}$ даёт $- 6$ , то есть проходит ровно через выколотую точку. Так проверь каждое найденное $k$ , ответ симметричен: $- 36$ и $36$ .

Правило

Через точку

(x_{0}; y_{0})

k = \frac{y_{0}}{x_{0}}

; касание:

D = 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 22: Прямая y = kx через начало координат.

Прототипы банка ФИПИ: 772C4F, AB4DF3, 768602, B3D80F, 7AC574

Примеры с решением

Пример 1

Постройте график функции

y = \frac{6 ∣ x ∣ - 1}{∣ x ∣ - 6 x^{2}}

. Определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

не имеет с графиком общих точек.

Ответ и решение

Ответ: -36; 0; 36

1Область определения: $∣ x ∣ - 6 x^{2} \neq = 0$ , то есть $∣ x ∣ (1 - 6∣ x ∣) \neq = 0$ : $x \neq = 0$ и $∣ x ∣ \neq = \frac{1}{6}$ , т. е. $x \neq = \pm \frac{1}{6}$ .
2Числитель равен $- (1 - 6∣ x ∣)$ , поэтому после сокращения на $1 - 6∣ x ∣$ получаем $y = - \frac{1}{∣ x ∣}$ .
3При $x > 0$ : $y = - \frac{1}{x}$ , при $x < 0$ : $y = \frac{1}{x}$ . График: две ветви гиперболы, симметричные относительно оси $O y$ , ниже оси $O x$ (в III и IV четвертях). Из них выколоты точки $(\frac{1}{6}; - 6)$ и $(- \frac{1}{6}; - 6)$ .
4Прямая $y = k x$ проходит через начало координат. При $k = 0$ это ось $O x$ : с графиком она не пересекается.
5При $k < 0$ прямая проходит через IV четверть и пересекает правую ветвь ровно в одной точке ( $- \frac{1}{x} = k x$ , $x^{2} = - \frac{1}{k}$ ), с левой ветвью общих точек нет. Так же при $k > 0$ есть ровно одна общая точка с левой ветвью.
6Эта единственная точка пропадает, если она выколотая. Прямая через $(\frac{1}{6}; - 6)$ : $k = - 6 : \frac{1}{6} = - 36$ ; через $(- \frac{1}{6}; - 6)$ : $k = 36$ .
7Итак, общих точек нет при $k = - 36$ , $k = 0$ и $k = 36$ .
8На рисунке пунктиром показаны прямые $y = - 36 x$ , $y = 0$ , $y = 36 x$ .
9Ответ: $k = - 36$ ; $k = 0$ ; $k = 36$ , то есть $k \in {- 36; 0; 36}$

Пример 2

Постройте график функции

y = \frac{1 - ∣ x ∣}{∣ x ∣ - x^{2}}

. Определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

не имеет с графиком общих точек.

Ответ и решение

Ответ: -1; 0; 1

1Область определения: $∣ x ∣ - x^{2} \neq = 0$ , то есть $∣ x ∣ (1 - ∣ x ∣) \neq = 0$ : $x \neq = 0$ и $∣ x ∣ \neq = 1$ , т. е. $x \neq = \pm 1$ .
2Числитель равен $1 - ∣ x ∣$ , поэтому после сокращения на $1 - ∣ x ∣$ получаем $y = \frac{1}{∣ x ∣}$ .
3При $x > 0$ : $y = \frac{1}{x}$ , при $x < 0$ : $y = - \frac{1}{x}$ . График: две ветви гиперболы, симметричные относительно оси $O y$ , выше оси $O x$ (в I и II четвертях). Из них выколоты точки $(1; 1)$ и $(- 1; 1)$ .
4Прямая $y = k x$ проходит через начало координат. При $k = 0$ это ось $O x$ : с графиком она не пересекается.
5При $k > 0$ прямая проходит через I четверть и пересекает правую ветвь ровно в одной точке ( $\frac{1}{x} = k x$ , $x^{2} = \frac{1}{k}$ ), с левой ветвью общих точек нет. Так же при $k < 0$ есть ровно одна общая точка с левой ветвью.
6Эта единственная точка пропадает, если она выколотая. Прямая через $(1; 1)$ : $k = 1 : 1 = 1$ ; через $(- 1; 1)$ : $k = - 1$ .
7Итак, общих точек нет при $k = - 1$ , $k = 0$ и $k = 1$ .
8На рисунке пунктиром показаны прямые $y = - x$ , $y = 0$ , $y = x$ .
9Ответ: $k = - 1$ ; $k = 0$ ; $k = 1$ , то есть $k \in {- 1; 0; 1}$

Пример 3

Постройте график функции

y = \frac{1 - 4 ∣ x ∣}{∣ x ∣ - 4 x^{2}}

. Определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

не имеет с графиком общих точек.

Ответ и решение

Ответ: -16; 0; 16

1Область определения: $∣ x ∣ - 4 x^{2} \neq = 0$ , то есть $∣ x ∣ (1 - 4∣ x ∣) \neq = 0$ : $x \neq = 0$ и $∣ x ∣ \neq = \frac{1}{4}$ , т. е. $x \neq = \pm \frac{1}{4}$ .
2Числитель равен $1 - 4∣ x ∣$ , поэтому после сокращения на $1 - 4∣ x ∣$ получаем $y = \frac{1}{∣ x ∣}$ .
3При $x > 0$ : $y = \frac{1}{x}$ , при $x < 0$ : $y = - \frac{1}{x}$ . График: две ветви гиперболы, симметричные относительно оси $O y$ , выше оси $O x$ (в I и II четвертях). Из них выколоты точки $(\frac{1}{4}; 4)$ и $(- \frac{1}{4}; 4)$ .
4Прямая $y = k x$ проходит через начало координат. При $k = 0$ это ось $O x$ : с графиком она не пересекается.
5При $k > 0$ прямая проходит через I четверть и пересекает правую ветвь ровно в одной точке ( $\frac{1}{x} = k x$ , $x^{2} = \frac{1}{k}$ ), с левой ветвью общих точек нет. Так же при $k < 0$ есть ровно одна общая точка с левой ветвью.
6Эта единственная точка пропадает, если она выколотая. Прямая через $(\frac{1}{4}; 4)$ : $k = 4 : \frac{1}{4} = 16$ ; через $(- \frac{1}{4}; 4)$ : $k = - 16$ .
7Итак, общих точек нет при $k = - 16$ , $k = 0$ и $k = 16$ .
8На рисунке пунктиром показаны прямые $y = - 16 x$ , $y = 0$ , $y = 16 x$ .
9Ответ: $k = - 16$ ; $k = 0$ ; $k = 16$ , то есть $k \in {- 16; 0; 16}$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 22

Гипербола с выколотой точкой и y = kxсложный
Парабола с выколотой точкой и y = kxпро
Гипербола после сокращения дробисложный
Кусочная функция: парабола и лучсложный
Кусочная функция из трёх прямыхсложный
Половина суммы с модулем разностипро
Кусочная функция: парабола и гиперболапро

Все 11 типов задания 22 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)