Задание 22 · часть 2 · 2 балла · сложный

При каких k прямая y = kx имеет одну общую точку с гиперболой: задание 22 ОГЭ по математике

После сокращения получается $y = \frac{1}{x}$ или $y = - \frac{1}{x}$ с одной выколотой точкой. Прямая $y = k x$ пересекает $y = \frac{1}{x}$ в двух симметричных точках при $k > 0$ и не пересекает при $k \leq 0$ ; для $y = - \frac{1}{x}$ наоборот, две точки при $k < 0$ . Одна общая точка останется, только если одна из двух выколота. Значит, ответ одно число: $k = \frac{y_{0}}{x_{0}}$ , например $- 0,3 : (- \frac{10}{3}) = 0,09$ .

Все типы задания 22

Проверь себя · 1 из 3

Постройте график функции

y = \frac{6 x - 5}{6 x ^{2} - 5 x}

. Определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Как решать задание 22 ОГЭ: гипербола с выколотой точкой и y = kx

Найди область определения и сократи дробь.
Найди координаты выколотой точки.
Объясни, при каких $k$ прямая пересекает гиперболу дважды.
Найди $k$ через выколотую точку.

Где ошибаются. Делят на $x_{0} = - \frac{10}{3}$ , округлив его до $- 3,3$ , и получают неточный $k$ . Дели на дробь умножением на обратную: $- 0,3 \cdot (- \frac{3}{10}) = 0,09$ .

Как проверить ответ. Проверь знак: для $y = \frac{1}{x}$ подходящий $k$ положителен. И подставь: $0,09 \cdot (- \frac{10}{3}) = - 0,3$ , это ордината выколотой точки.

Правило

Через точку

(x_{0}; y_{0})

k = \frac{y_{0}}{x_{0}}

; касание:

D = 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 22: Прямая y = kx через начало координат.

Прототипы банка ФИПИ: 20CD08, 70822B, DE232E, DA94D8, 8E25DC

Примеры с решением

Пример 1

Постройте график функции

y = \frac{x - 5}{x^{2} - 5 x}

. Определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ и решение

Ответ: 0,04

1Область определения: $x^{2} - 5 x \neq = 0$ , то есть $x (x - 5) \neq = 0$ : $x \neq = 0$ и $x \neq = 5$ .
2Сократим дробь на $x - 5$ : $y = \frac{1}{x}$ . График: гипербола с ветвями в I и III четвертях, из неё выколота точка $(5; 0, 2)$ .
3Прямая $y = k x$ проходит через начало координат. При $k ⩽ 0$ она лежит в других четвертях (или совпадает с осью $O x$ ) и с гиперболой не пересекается. При $k > 0$ уравнение $\frac{1}{x} = k x$ даёт $x^{2} = \frac{1}{k}$ : две общие точки, симметричные относительно начала координат.
4Ровно одна общая точка останется, если одна из этих двух точек выколота, то есть прямая проходит через $(5; 0, 2)$ : $k = 0, 2 : 5 = 0, 04$ . Симметричная ей точка $(- 5; - 0, 2)$ лежит на графике.
5На рисунке пунктиром показаны прямые $y = 0, 04 x$ .
6Ответ: $k = 0, 04$

Пример 2

Постройте график функции

y = \frac{3 x + 4}{3 x^{2} + 4 x}

. Определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ и решение

Ответ: 0,5625

1Область определения: $3 x^{2} + 4 x \neq = 0$ , то есть $x (3 x + 4) \neq = 0$ : $x \neq = 0$ и $x \neq = - \frac{4}{3}$ .
2Сократим дробь на $3 x + 4$ : $y = \frac{1}{x}$ . График: гипербола с ветвями в I и III четвертях, из неё выколота точка $(- \frac{4}{3}; - 0, 75)$ .
3Прямая $y = k x$ проходит через начало координат. При $k ⩽ 0$ она лежит в других четвертях (или совпадает с осью $O x$ ) и с гиперболой не пересекается. При $k > 0$ уравнение $\frac{1}{x} = k x$ даёт $x^{2} = \frac{1}{k}$ : две общие точки, симметричные относительно начала координат.
4Ровно одна общая точка останется, если одна из этих двух точек выколота, то есть прямая проходит через $(- \frac{4}{3}; - 0, 75)$ : $k = - 0, 75 : (- \frac{4}{3}) = 0, 5625$ . Симметричная ей точка $(\frac{4}{3}; 0, 75)$ лежит на графике.
5На рисунке пунктиром показаны прямые $y = 0, 5625 x$ .
6Ответ: $k = 0, 5625$

Пример 3

Постройте график функции

y = \frac{3 x + 5}{3 x^{2} + 5 x}

. Определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ и решение

Ответ: 0,36

1Область определения: $3 x^{2} + 5 x \neq = 0$ , то есть $x (3 x + 5) \neq = 0$ : $x \neq = 0$ и $x \neq = - \frac{5}{3}$ .
2Сократим дробь на $3 x + 5$ : $y = \frac{1}{x}$ . График: гипербола с ветвями в I и III четвертях, из неё выколота точка $(- \frac{5}{3}; - 0, 6)$ .
3Прямая $y = k x$ проходит через начало координат. При $k ⩽ 0$ она лежит в других четвертях (или совпадает с осью $O x$ ) и с гиперболой не пересекается. При $k > 0$ уравнение $\frac{1}{x} = k x$ даёт $x^{2} = \frac{1}{k}$ : две общие точки, симметричные относительно начала координат.
4Ровно одна общая точка останется, если одна из этих двух точек выколота, то есть прямая проходит через $(- \frac{5}{3}; - 0, 6)$ : $k = - 0, 6 : (- \frac{5}{3}) = 0, 36$ . Симметричная ей точка $(\frac{5}{3}; 0, 6)$ лежит на графике.
5На рисунке пунктиром показаны прямые $y = 0, 36 x$ .
6Ответ: $k = 0, 36$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 22

Гипербола после сокращения дробисложный
Кусочная функция: парабола и лучсложный
Кусочная функция из трёх прямыхсложный
Парабола с модулем линейного выражениясложный
Функция с x|x| и |x|сложный
Половина суммы с модулем разностипро
Кусочная функция: парабола и гиперболапро

Все 11 типов задания 22 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)