Постройте график функции y = ½(|a − b| + a + b) с дробями: задание 22 ОГЭ по математике

Ответ: -3; 3

1. 1Область определения: $x\ne 0$. Если $\frac{x}{2}⩾\frac{18}{x}$, то модуль раскрывается со знаком плюс и $y=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}-\frac{18}{x}+\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\right)=\frac{x}{2}$; иначе $y=\frac{1}{2}\left(\frac{18}{x}-\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\right)=\frac{18}{x}$. То есть $y$ равно большему из чисел $\frac{x}{2}$ и $\frac{18}{x}$.
2. 2Решим $\frac{x}{2}⩾\frac{18}{x}$. При $x>0$ умножим на $2x>0$: $x^2⩾36$, $x⩾6$. При $x<0$ умножаем на отрицательное число, знак меняется: $x^2⩽36$, $-6⩽x<0$.
3. 3Значит, $y=\frac{x}{2}$ при $x⩾6$ и при $-6⩽x<0$; $y=\frac{18}{x}$ при $0<x<6$ и при $x<-6$.
4. 4При $x>0$: ветвь гиперболы $y=\frac{18}{x}$ убывает (от $+\infty$ при $x\to 0$) до точки $(6;3)$, дальше луч прямой $y=\frac{x}{2}$ возрастает. Наименьшее значение на этой части $3$ (в точке $(6;3)$).
5. 5При $x<0$: ветвь гиперболы $y=\frac{18}{x}$ убывает от значений, близких к $0$, до $-3$ (точка $(-6;-3)$ ей не принадлежит), затем отрезок прямой $y=\frac{x}{2}$ возрастает от точки $(-6;-3)$ (закрашена) до выколотой точки $(0;0)$. Значения этой части заполняют $[-3;0)$.
6. 6Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=-3$ (закрашенный конец части $(-6;-3)$); $m=0$ (выколотая точка $(0;0)$, асимптота $y=0$, то есть ось $Ox$); $m=3$ (закрашенный конец части $(6;3)$).
7. 7Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m<-3$ общих точек нет; при $m=-3$ одна общая точка; при $-3<m<0$ две общие точки; при $0⩽m<3$ общих точек нет; при $m=3$ одна общая точка; при $m>3$ две общие точки.
8. 8Значит, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $m=-3$ и при $m=3$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=-3$, $y=3$.
9. 9Ответ: $m=-3$; $m=3$, то есть $m\in \{-3;3\}$

Ответ: -1; 1

1. 1Область определения: $x\ne 0$. Если $\frac{x}{1,5}⩾\frac{1,5}{x}$, то модуль раскрывается со знаком плюс и $y=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x}+\frac{x}{1,5}+\frac{1,5}{x}\right)=\frac{x}{1,5}$; иначе $y=\frac{1}{2}\left(\frac{1,5}{x}-\frac{x}{1,5}+\frac{x}{1,5}+\frac{1,5}{x}\right)=\frac{1,5}{x}$. То есть $y$ равно большему из чисел $\frac{x}{1,5}$ и $\frac{1,5}{x}$.
2. 2Решим $\frac{x}{1,5}⩾\frac{1,5}{x}$. При $x>0$ умножим на $1,5x>0$: $x^2⩾2,25$, $x⩾1,5$. При $x<0$ умножаем на отрицательное число, знак меняется: $x^2⩽2,25$, $-1,5⩽x<0$.
3. 3Значит, $y=\frac{x}{1,5}$ при $x⩾1,5$ и при $-1,5⩽x<0$; $y=\frac{1,5}{x}$ при $0<x<1,5$ и при $x<-1,5$.
4. 4При $x>0$: ветвь гиперболы $y=\frac{1,5}{x}$ убывает (от $+\infty$ при $x\to 0$) до точки $(1,5;1)$, дальше луч прямой $y=\frac{x}{1,5}$ возрастает. Наименьшее значение на этой части $1$ (в точке $(1,5;1)$).
5. 5При $x<0$: ветвь гиперболы $y=\frac{1,5}{x}$ убывает от значений, близких к $0$, до $-1$ (точка $(-1,5;-1)$ ей не принадлежит), затем отрезок прямой $y=\frac{x}{1,5}$ возрастает от точки $(-1,5;-1)$ (закрашена) до выколотой точки $(0;0)$. Значения этой части заполняют $[-1;0)$.
6. 6Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=-1$ (закрашенный конец части $(-1,5;-1)$); $m=0$ (выколотая точка $(0;0)$, асимптота $y=0$, то есть ось $Ox$); $m=1$ (закрашенный конец части $(1,5;1)$).
7. 7Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m<-1$ общих точек нет; при $m=-1$ одна общая точка; при $-1<m<0$ две общие точки; при $0⩽m<1$ общих точек нет; при $m=1$ одна общая точка; при $m>1$ две общие точки.
8. 8Значит, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $m=-1$ и при $m=1$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=-1$, $y=1$.
9. 9Ответ: $m=-1$; $m=1$, то есть $m\in \{-1;1\}$

Ответ: -0,5; 0,5

1. 1Область определения: $x\ne 0$. Если $\frac{x}{4}⩾\frac{1}{x}$, то модуль раскрывается со знаком плюс и $y=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{4}-\frac{1}{x}+\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\right)=\frac{x}{4}$; иначе $y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{4}+\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}$. То есть $y$ равно большему из чисел $\frac{x}{4}$ и $\frac{1}{x}$.
2. 2Решим $\frac{x}{4}⩾\frac{1}{x}$. При $x>0$ умножим на $4x>0$: $x^2⩾4$, $x⩾2$. При $x<0$ умножаем на отрицательное число, знак меняется: $x^2⩽4$, $-2⩽x<0$.
3. 3Значит, $y=\frac{x}{4}$ при $x⩾2$ и при $-2⩽x<0$; $y=\frac{1}{x}$ при $0<x<2$ и при $x<-2$.
4. 4При $x>0$: ветвь гиперболы $y=\frac{1}{x}$ убывает (от $+\infty$ при $x\to 0$) до точки $(2;0,5)$, дальше луч прямой $y=\frac{x}{4}$ возрастает. Наименьшее значение на этой части $0,5$ (в точке $(2;0,5)$).
5. 5При $x<0$: ветвь гиперболы $y=\frac{1}{x}$ убывает от значений, близких к $0$, до $-0,5$ (точка $(-2;-0,5)$ ей не принадлежит), затем отрезок прямой $y=\frac{x}{4}$ возрастает от точки $(-2;-0,5)$ (закрашена) до выколотой точки $(0;0)$. Значения этой части заполняют $[-0,5;0)$.
6. 6Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=-0,5$ (закрашенный конец части $(-2;-0,5)$); $m=0$ (выколотая точка $(0;0)$, асимптота $y=0$, то есть ось $Ox$); $m=0,5$ (закрашенный конец части $(2;0,5)$).
7. 7Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m<-0,5$ общих точек нет; при $m=-0,5$ одна общая точка; при $-0,5<m<0$ две общие точки; при $0⩽m<0,5$ общих точек нет; при $m=0,5$ одна общая точка; при $m>0,5$ две общие точки.
8. 8Значит, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $m=-0,5$ и при $m=0,5$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=-0,5$, $y=0,5$.
9. 9Ответ: $m=-0,5$; $m=0,5$, то есть $m\in \{-0,5;0,5\}$