Задание 22 · часть 2 · 2 балла · сложный

Постройте график функции y = c − (x − a)/(x² − ax): задание 22 ОГЭ по математике

Разложи знаменатель на множители и сократи: $\frac{x + 2}{x (x + 2)} = \frac{1}{x}$ при $x \neq - 2$ . Если перед дробью стоит число, например $y = 4 - \frac{1}{x}$ , асимптота сдвигается в $y = 4$ . Прямая $y = m$ не пересекает график в двух случаях: она совпадает с горизонтальной асимптотой или проходит через выколотую точку. Поэтому ответ почти всегда из двух чисел.

Все типы задания 22

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 22 ОГЭ: гипербола после сокращения дроби

Найди нули знаменателя и запиши ограничения.
Сократи дробь до гиперболы.
Найди горизонтальную асимптоту и выколотую точку.
Запиши два значения $m$ : асимптота и ордината выколотой точки.

Где ошибаются. Ординату выколотой точки ищут по исходной дроби, а там $\frac{0}{0}$ . Для $y = 1 - \frac{x - 4}{x^{2} - 4 x}$ подставляй $x = 4$ в сокращённую формулу $y = 1 - \frac{1}{x}$ : выходит $0,75$ .

Как проверить ответ. Проверь каждое $m$ уравнением. Для $y = 1 - \frac{1}{x}$ : $1 - \frac{1}{x} = 1$ решений не имеет, а $1 - \frac{1}{x} = 0,75$ даёт $x = 4$ , который выколот. Оба значения подходят.

Правило

Выколотая точка:

x_{0}

из нуля знаменателя,

y_{0}

из упрощённой формулы

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 22: Дробная функция с выколотой точкой.

Прототипы банка ФИПИ: 632946, C69602, 68EB0C, 4CB11B, 396E17

Примеры с решением

Пример 1

Постройте график функции

y = 1 - \frac{x - 4}{x^{2} - 4 x}

и определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ и решение

Ответ: 0,75; 1

1Область определения: $x^{2} - 4 x \neq = 0$ , то есть $x (x - 4) \neq = 0$ : $x \neq = 0$ и $x \neq = 4$ .
2Сократим дробь: $\frac{x - 4}{x ( x - 4 )} = \frac{1}{x}$ , значит $y = 1 - \frac{1}{x}$ .
3График: гипербола $y = - \frac{1}{x}$ (ветви во II и IV четвертях), сдвинутая на $1$ вверх: асимптоты $x = 0$ и $y = 1$ , значение $1$ функция не принимает. Точки для построения: $(1; 0)$ , $(- 1; 2)$ , $(2; 0, 5)$ , $(- 2; 1, 5)$ .
4Из графика выколота точка с абсциссой $4$ : $y (4) = 1 - \frac{1}{4} = 0, 75$ , это точка $(4; 0, 75)$ .
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = 0, 75$ (выколотая точка $(4; 0, 75)$ ); $m = 1$ (асимптота $y = 1$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < 0, 75$ одна общая точка; при $m = 0, 75$ общих точек нет; при $0, 75 < m < 1$ одна общая точка; при $m = 1$ общих точек нет; при $m > 1$ одна общая точка.
7Значит, прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек при $m = 0, 75$ и при $m = 1$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = 0, 75$ , $y = 1$ .
8Ответ: $m = 0, 75$ ; $m = 1$ , то есть $m \in {0, 75; 1}$

Пример 2

Постройте график функции

y = 3 - \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x}

и определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ и решение

Ответ: 3; 3,2

1Область определения: $x^{2} + 5 x \neq = 0$ , то есть $x (x + 5) \neq = 0$ : $x \neq = 0$ и $x \neq = - 5$ .
2Сократим дробь: $\frac{x + 5}{x ( x + 5 )} = \frac{1}{x}$ , значит $y = 3 - \frac{1}{x}$ .
3График: гипербола $y = - \frac{1}{x}$ (ветви во II и IV четвертях), сдвинутая на $3$ вверх: асимптоты $x = 0$ и $y = 3$ , значение $3$ функция не принимает. Точки для построения: $(1; 2)$ , $(- 1; 4)$ , $(2; 2, 5)$ , $(- 2; 3, 5)$ .
4Из графика выколота точка с абсциссой $- 5$ : $y (- 5) = 3 - \frac{1}{( - 5 )} = 3, 2$ , это точка $(- 5; 3, 2)$ .
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = 3$ (асимптота $y = 3$ ); $m = 3, 2$ (выколотая точка $(- 5; 3, 2)$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < 3$ одна общая точка; при $m = 3$ общих точек нет; при $3 < m < 3, 2$ одна общая точка; при $m = 3, 2$ общих точек нет; при $m > 3, 2$ одна общая точка.
7Значит, прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек при $m = 3$ и при $m = 3, 2$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = 3$ , $y = 3, 2$ .
8Ответ: $m = 3$ ; $m = 3, 2$ , то есть $m \in {3; 3, 2}$

Пример 3

Постройте график функции

y = 3 - \frac{x - 4}{x^{2} - 4 x}

и определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ и решение

Ответ: 2,75; 3

1Область определения: $x^{2} - 4 x \neq = 0$ , то есть $x (x - 4) \neq = 0$ : $x \neq = 0$ и $x \neq = 4$ .
2Сократим дробь: $\frac{x - 4}{x ( x - 4 )} = \frac{1}{x}$ , значит $y = 3 - \frac{1}{x}$ .
3График: гипербола $y = - \frac{1}{x}$ (ветви во II и IV четвертях), сдвинутая на $3$ вверх: асимптоты $x = 0$ и $y = 3$ , значение $3$ функция не принимает. Точки для построения: $(1; 2)$ , $(- 1; 4)$ , $(2; 2, 5)$ , $(- 2; 3, 5)$ .
4Из графика выколота точка с абсциссой $4$ : $y (4) = 3 - \frac{1}{4} = 2, 75$ , это точка $(4; 2, 75)$ .
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = 2, 75$ (выколотая точка $(4; 2, 75)$ ); $m = 3$ (асимптота $y = 3$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < 2, 75$ одна общая точка; при $m = 2, 75$ общих точек нет; при $2, 75 < m < 3$ одна общая точка; при $m = 3$ общих точек нет; при $m > 3$ одна общая точка.
7Значит, прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек при $m = 2, 75$ и при $m = 3$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = 2, 75$ , $y = 3$ .
8Ответ: $m = 2, 75$ ; $m = 3$ , то есть $m \in {2, 75; 3}$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 22

Дробь с модулем, сокращение до x|x|сложный
Кусочная функция: парабола и лучсложный
Кусочная функция из трёх прямыхсложный
Парабола с модулем линейного выражениясложный
Функция с x|x| и |x|сложный
Половина суммы с модулем разностипро
Кусочная функция: парабола и гиперболапро

Все 11 типов задания 22 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)