Задание 22 · часть 2 · 2 балла · про

Постройте график кусочной функции из параболы и гиперболы: задание 22 ОГЭ по математике

Ветвь гиперболы $y = - \frac{9}{x}$ при $x < - 3$ лежит выше оси $O x$ и приближается к ней, но не касается: значение $m = 0$ особое. Посчитай значение гиперболы на границе, $- \frac{9}{- 3} = 3$ : часто оно совпадает со значением параболы, и график непрерывен. Вершина параболы даёт ещё одно особое значение. Вопрос может быть про одну, две или «одну или две» общие точки, читай его внимательно.

Все типы задания 22

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 22 ОГЭ: парабола и гипербола

Найди вершину параболы и проверь, лежит ли она в своём промежутке.
Построй ветвь гиперболы по точкам и отметь асимптоту.
Сравни значения обеих частей на границе.
Двигай прямую $y = m$ и выпиши подходящие значения.

Где ошибаются. Ветвь гиперболы рисуют почти прямой по двум точкам. Возьми хотя бы три: $x = - 3$ , $- 4,5$ , $- 9$ дают $y = 3$ , $2$ , $1$ . Без них легко ошибиться, где ветвь выше параболы.

Как проверить ответ. Посчитай обе формулы при $x = - 3$ : гипербола даёт 3. Если парабола даёт другое число, на графике разрыв и появляется лишнее особое значение $m$ , проверь, учёл ли ты его.

Правило

Граничная точка принадлежит той части, где стоит знак

\geq

или

\leq

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 22: Кусочная функция: парабола, прямая и гипербола.

Прототипы банка ФИПИ: 46EEF6, FCB77C, EFF36A, EC2E37

Примеры с решением

Пример 1

Постройте график функции

y = {\begin{cases} x^{2} - 4 x + 3 & при x ⩾ - 1, \\ - \frac{8}{x} & при x < - 1. \end{cases}

Определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ и решение

Ответ: ${- 1} \cup (8; + \infty)$

1Функция определена при всех $x$ : формула $- \frac{8}{x}$ используется только при $x < - 1$ , где $x \neq = 0$ . Строим график по частям.
2При $x ⩾ - 1$ : $y = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 2)^{2} - 1$ . Это часть параболы, ветви направлены вверх, вершина $(2; - 1)$ (вершина входит в эту часть, так как $2 > - 1$ ). Ещё точки: $(1; 0)$ , $(3; 0)$ . На левом конце $y (- 1) = 8$ , точка $(- 1; 8)$ закрашена.
3При $x < - 1$ : $y = - \frac{8}{x}$ . Это часть ветви гиперболы во второй координатной четверти, асимптота $y = 0$ (ось $O x$ ). Она проходит через точку $(- 2; 4)$ ; при $x \to - \infty$ значения положительны и стремятся к нулю, при $x \to - 1$ значения стремятся к $- \frac{8}{( - 1 )} = 8$ ; точка $(- 1; 8)$ на гиперболе выколота. Значения этой части заполняют промежуток $(0; 8)$ . Парабола при $x = - 1$ даёт то же значение $8$ , поэтому точка $(- 1; 8)$ принадлежит графику и график непрерывен.
4Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = - 1$ (вершина параболы $(2; - 1)$ ); $m = 0$ (асимптота $y = 0$ , то есть ось $O x$ ); $m = 8$ (закрашенный конец части $(- 1; 8)$ ).
5Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < - 1$ общих точек нет; при $m = - 1$ одна общая точка; при $- 1 < m ⩽ 0$ две общие точки; при $0 < m < 8$ три общие точки; при $m = 8$ две общие точки; при $m > 8$ одна общая точка.
6Значит, прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $m = - 1$ и при $m > 8$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = - 1$ , $y = 8$ .
7Ответ: $m = - 1$ ; $m > 8$ , то есть $m \in {- 1} \cup (8; + \infty)$

Пример 2

Постройте график функции

y = {\begin{cases} x^{2} + 2 x + 1 & при x ⩾ - 4, \\ - \frac{36}{x} & при x < - 4. \end{cases}

Определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ и решение

Ответ: ${0} \cup (9; + \infty)$

1Функция определена при всех $x$ : формула $- \frac{36}{x}$ используется только при $x < - 4$ , где $x \neq = 0$ . Строим график по частям.
2При $x ⩾ - 4$ : $y = x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ . Это часть параболы, ветви направлены вверх, вершина $(- 1; 0)$ (вершина входит в эту часть, так как $- 1 > - 4$ ). Ещё точки: $(- 2; 1)$ , $(0; 1)$ . На левом конце $y (- 4) = 9$ , точка $(- 4; 9)$ закрашена.
3При $x < - 4$ : $y = - \frac{36}{x}$ . Это часть ветви гиперболы во второй координатной четверти, асимптота $y = 0$ (ось $O x$ ). Она проходит через точку $(- 8; 4, 5)$ ; при $x \to - \infty$ значения положительны и стремятся к нулю, при $x \to - 4$ значения стремятся к $- \frac{36}{( - 4 )} = 9$ ; точка $(- 4; 9)$ на гиперболе выколота. Значения этой части заполняют промежуток $(0; 9)$ . Парабола при $x = - 4$ даёт то же значение $9$ , поэтому точка $(- 4; 9)$ принадлежит графику и график непрерывен.
4Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = 0$ (вершина параболы $(- 1; 0)$ , асимптота $y = 0$ , то есть ось $O x$ ); $m = 9$ (закрашенный конец части $(- 4; 9)$ ).
5Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < 0$ общих точек нет; при $m = 0$ одна общая точка; при $0 < m < 9$ три общие точки; при $m = 9$ две общие точки; при $m > 9$ одна общая точка.
6Значит, прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $m = 0$ и при $m > 9$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = 0$ , $y = 9$ .
7Ответ: $m = 0$ ; $m > 9$ , то есть $m \in {0} \cup (9; + \infty)$

Пример 3

Постройте график функции

y = {\begin{cases} x^{2} - 2 x + 1 & при x ⩾ - 2, \\ - \frac{18}{x} & при x < - 2. \end{cases}

Определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком одну или две общие точки.

Ответ и решение

Ответ: ${0} \cup [9; + \infty)$

1Функция определена при всех $x$ : формула $- \frac{18}{x}$ используется только при $x < - 2$ , где $x \neq = 0$ . Строим график по частям.
2При $x ⩾ - 2$ : $y = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ . Это часть параболы, ветви направлены вверх, вершина $(1; 0)$ (вершина входит в эту часть, так как $1 > - 2$ ). Ещё точки: $(0; 1)$ , $(2; 1)$ . На левом конце $y (- 2) = 9$ , точка $(- 2; 9)$ закрашена.
3При $x < - 2$ : $y = - \frac{18}{x}$ . Это часть ветви гиперболы во второй координатной четверти, асимптота $y = 0$ (ось $O x$ ). Она проходит через точку $(- 4; 4, 5)$ ; при $x \to - \infty$ значения положительны и стремятся к нулю, при $x \to - 2$ значения стремятся к $- \frac{18}{( - 2 )} = 9$ ; точка $(- 2; 9)$ на гиперболе выколота. Значения этой части заполняют промежуток $(0; 9)$ . Парабола при $x = - 2$ даёт то же значение $9$ , поэтому точка $(- 2; 9)$ принадлежит графику и график непрерывен.
4Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = 0$ (вершина параболы $(1; 0)$ , асимптота $y = 0$ , то есть ось $O x$ ); $m = 9$ (закрашенный конец части $(- 2; 9)$ ).
5Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < 0$ общих точек нет; при $m = 0$ одна общая точка; при $0 < m < 9$ три общие точки; при $m = 9$ две общие точки; при $m > 9$ одна общая точка.
6Значит, прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки при $m = 0$ и при $m ⩾ 9$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = 0$ , $y = 9$ .
7Ответ: $m = 0$ ; $m ⩾ 9$ , то есть $m \in {0} \cup [9; + \infty)$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 22

Кусочная функция из трёх прямыхсложный
Парабола с модулем линейного выражениясложный
Функция с x|x| и |x|сложный
Дробь с модулем, сокращение до x|x|сложный
Гипербола с выколотой точкой и y = kxсложный
Дробь с модулем и прямая y = kxпро
Парабола с выколотой точкой и y = kxпро

Все 11 типов задания 22 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)