Задание 22 · часть 2 · 2 балла · про

При каких k прямая y = kx имеет одну общую точку с параболой: задание 22 ОГЭ по математике

Дробь $\frac{x - 1}{1 - x} = - 1$ при $x \neq 1$ , поэтому график: парабола $y = - x^{2} - 0,25$ без одной точки. Одна общая точка бывает в двух случаях. Первый: касание, из $x^{2} + k x + 0,25 = 0$ условие $D = k^{2} - 1 = 0$ , $k = \pm 1$ . Второй: прямая пересекает параболу дважды, но одна точка выколота, тогда $k = \frac{y_{0}}{x_{0}} = - 1,25$ .

Все типы задания 22

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 22 ОГЭ: парабола с выколотой точкой и y = kx

Сократи дробь и запиши выколотую точку.
Приравняй параболу и $k x$ , найди $k$ из условия $D = 0$ .
Найди $k$ для прямой через выколотую точку.
Проверь, что точки касания не совпадают с выколотой.

Где ошибаются. Переносят $0,25$ без смены знака: $x^{2} + k x - 0,25 = 0$ даёт $D = k^{2} + 1$ , который нулём не бывает, и случай касания теряется.

Как проверить ответ. Найди точки касания: $x = - \frac{k}{2}$ , при $k = 1$ это $- 0,5$ , при $k = - 1$ это $0,5$ . Обе не совпадают с выколотой $x = 1$ , значит, оба $k$ остаются в ответе.

Правило

Через точку

(x_{0}; y_{0})

k = \frac{y_{0}}{x_{0}}

; касание:

D = 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 22: Прямая y = kx через начало координат.

Прототипы банка ФИПИ: 152E49, DF7E4D, EB0FF0, 6250F0, 929B17

Примеры с решением

Пример 1

Постройте график функции

y = \frac{(x^{2} + 6,25) (x + 1)}{- 1 - x}

. Определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ и решение

Ответ: -5; 5; 7,25

1Область определения: $x \neq = - 1$ . При $x \neq = - 1$ : $\frac{x + 1}{- 1 - x} = - 1$ , значит $y = - (x^{2} + 6, 25) = - x^{2} - 6, 25$ .
2График: парабола ветвями вниз с вершиной $(0; - 6, 25)$ , из которой выколота точка $(- 1; - 7, 25)$ .
3Прямая $y = k x$ касается параболы, когда уравнение $- x^{2} - 6, 25 = k x$ , то есть $x^{2} + k x + 6, 25 = 0$ , имеет один корень: $D = k^{2} - 25 = 0$ , $k = \pm 5$ . Точка касания $x = - \frac{k}{2}$ : при $k = 5$ это $x = - 2, 5$ , при $k = - 5$ это $x = 2, 5$ .
4Обе точки касания не совпадают с выколотой, поэтому $k = \pm 5$ подходят.
5Ещё одна общая точка остаётся, если прямая пересекает параболу в двух точках, одна из которых выколота. Прямая через $(- 1; - 7, 25)$ : $k = - 7, 25 : (- 1) = 7, 25$ . Тогда в уравнении $x^{2} + k x + 6, 25 = 0$ один корень $- 1$ , а второй по теореме Виета $x = 6, 25 : (- 1) = - 6, 25$ ; он не выколот, значит общая точка ровно одна.
6При остальных $k$ общих точек с графиком нет или их две. Итак, ровно одна общая точка при $k = - 5$ , $k = 5$ , $k = 7, 25$ .
7На рисунке пунктиром показаны прямые $y = - 5 x$ , $y = 5 x$ , $y = 7, 25 x$ .
8Ответ: $k = - 5$ ; $k = 5$ ; $k = 7, 25$ , то есть $k \in {- 5; 5; 7, 25}$

Пример 2

Постройте график функции

y = \frac{(x^{2} + 4) (x + 2)}{- 2 - x}

. Определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ и решение

Ответ: -4

1Область определения: $x \neq = - 2$ . При $x \neq = - 2$ : $\frac{x + 2}{- 2 - x} = - 1$ , значит $y = - (x^{2} + 4) = - x^{2} - 4$ .
2График: парабола ветвями вниз с вершиной $(0; - 4)$ , из которой выколота точка $(- 2; - 8)$ .
3Прямая $y = k x$ касается параболы, когда уравнение $- x^{2} - 4 = k x$ , то есть $x^{2} + k x + 4 = 0$ , имеет один корень: $D = k^{2} - 16 = 0$ , $k = \pm 4$ . Точка касания $x = - \frac{k}{2}$ : при $k = 4$ это $x = - 2$ , при $k = - 4$ это $x = 2$ .
4При $k = 4$ касание приходится как раз на выколотую точку $x = - 2$ , такая прямая не имеет с графиком общих точек. Подходит только $k = - 4$ .
5Ещё одна общая точка остаётся, если прямая пересекает параболу в двух точках, одна из которых выколота. Прямая через $(- 2; - 8)$ : $k = - 8 : (- 2) = 4$ . Тогда в уравнении $x^{2} + k x + 4 = 0$ один корень $- 2$ , а второй по теореме Виета $x = 4 : (- 2) = - 2$ , то есть это то же касание в выколотой точке: общих точек нет.
6При остальных $k$ общих точек с графиком нет или их две. Итак, ровно одна общая точка при $k = - 4$ .
7На рисунке пунктиром показаны прямые $y = - 4 x$ .
8Ответ: $k = - 4$

Пример 3

Постройте график функции

y = \frac{(x^{2} + 2,25) (x - 2)}{2 - x}

. Определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ и решение

Ответ: -3,125; -3; 3

1Область определения: $x \neq = 2$ . При $x \neq = 2$ : $\frac{x - 2}{2 - x} = - 1$ , значит $y = - (x^{2} + 2, 25) = - x^{2} - 2, 25$ .
2График: парабола ветвями вниз с вершиной $(0; - 2, 25)$ , из которой выколота точка $(2; - 6, 25)$ .
3Прямая $y = k x$ касается параболы, когда уравнение $- x^{2} - 2, 25 = k x$ , то есть $x^{2} + k x + 2, 25 = 0$ , имеет один корень: $D = k^{2} - 9 = 0$ , $k = \pm 3$ . Точка касания $x = - \frac{k}{2}$ : при $k = 3$ это $x = - 1, 5$ , при $k = - 3$ это $x = 1, 5$ .
4Обе точки касания не совпадают с выколотой, поэтому $k = \pm 3$ подходят.
5Ещё одна общая точка остаётся, если прямая пересекает параболу в двух точках, одна из которых выколота. Прямая через $(2; - 6, 25)$ : $k = - 6, 25 : 2 = - 3, 125$ . Тогда в уравнении $x^{2} + k x + 2, 25 = 0$ один корень $2$ , а второй по теореме Виета $x = 2, 25 : 2 = 1, 125$ ; он не выколот, значит общая точка ровно одна.
6При остальных $k$ общих точек с графиком нет или их две. Итак, ровно одна общая точка при $k = - 3, 125$ , $k = - 3$ , $k = 3$ .
7На рисунке пунктиром показаны прямые $y = - 3, 125 x$ , $y = - 3 x$ , $y = 3 x$ .
8Ответ: $k = - 3, 125$ ; $k = - 3$ ; $k = 3$ , то есть $k \in {- 3, 125; - 3; 3}$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 22

Гипербола с выколотой точкой и y = kxсложный
Гипербола после сокращения дробисложный
Кусочная функция: парабола и лучсложный
Кусочная функция из трёх прямыхсложный
Парабола с модулем линейного выражениясложный
Половина суммы с модулем разностипро
Кусочная функция: парабола и гиперболапро

Все 11 типов задания 22 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)