Задание 22 · часть 2 · 2 балла · сложный

Постройте график функции y = (ax² + bx)|x|/(x + c): задание 22 ОГЭ по математике

Вынеси в числителе общий множитель, чтобы появилась скобка как в знаменателе: $0,75 x^{2} + 0,75 x = 0,75 x (x + 1)$ . После сокращения остаётся $y = 0,75 x ∣ x ∣$ : справа половина параболы ветвями вверх, слева ветвями вниз. Эта функция принимает каждое значение ровно один раз, кроме ординаты выколотой точки. Поэтому ответ один: $m = - 0,75$ .

Все типы задания 22

Проверь себя · 1 из 3

Постройте график функции

y = \frac{( 0 , 5 x ^{2} + x ) \cdot ∣ x ∣}{x + 2}

. Определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

не имеет с графиком ни одной общей точки.

Как решать задание 22 ОГЭ: дробь с модулем, сокращение до x|x|

Запиши область определения: знаменатель не ноль.
Разложи числитель и сократи дробь.
Раскрой модуль и построй две половины парабол.
Найди выколотую точку и значение $m$ без общих точек.

Где ошибаются. Ординату выколотой точки считают как $0,75 \cdot (- 1)^{2} = 0,75$ . При $x < 0$ функция равна $- 0,75 x^{2}$ , поэтому в точке $x = - 1$ значение $- 0,75$ .

Как проверить ответ. Подставь $x = - 1$ в упрощённую формулу: $0,75 \cdot (- 1) \cdot ∣ - 1 ∣ = - 0,75$ . Знак значения совпадает со знаком $x$ : слева от нуля график ниже оси.

Правило

Выколотая точка:

x_{0}

из нуля знаменателя,

y_{0}

из упрощённой формулы

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 22: Дробная функция с выколотой точкой.

Прототипы банка ФИПИ: D35EB0, 9600B6, 43A519, AD9AD9

Примеры с решением

Пример 1

Постройте график функции

y = \frac{(0,25 x^{2} - 0,5 x) \cdot ∣ x ∣}{x - 2}

. Определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ и решение

Ответ: 1

1Область определения: $x \neq = 2$ . Вынесем $x$ в числителе: $0, 25 x^{2} - 0, 5 x = 0, 25 x (x - 2)$ .
2При $x \neq = 2$ сократим на $x - 2$ : $y = 0, 25 x ∣ x ∣$ .
3Раскроем модуль. Случай $x ⩾ 0$ : $y = 0, 25 x^{2}$ , правая половина параболы ветвями вверх с вершиной $(0; 0)$ , проходит через точки $(1; 0, 25)$ и $(2; 1)$ . Случай $x < 0$ : $y = - 0, 25 x^{2}$ , левая половина параболы ветвями вниз, проходит через точки $(- 1; - 0, 25)$ и $(- 2; - 1)$ . Части стыкуются в начале координат, функция возрастает и принимает все значения.
4Из графика выколота точка с абсциссой $2$ : $y = 0, 25 \cdot 2 \cdot ∣2∣ = 1$ , это точка $(2; 1)$ . Каждое значение, кроме $1$ , функция принимает ровно один раз.
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = 1$ (выколотая точка $(2; 1)$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < 1$ одна общая точка; при $m = 1$ общих точек нет; при $m > 1$ одна общая точка.
7Значит, прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек при $m = 1$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = 1$ .
8Ответ: $m = 1$

Пример 2

Постройте график функции

y = \frac{(0,25 x^{2} - 0,75 x) \cdot ∣ x ∣}{x - 3}

. Определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ и решение

Ответ: 2,25

1Область определения: $x \neq = 3$ . Вынесем $x$ в числителе: $0, 25 x^{2} - 0, 75 x = 0, 25 x (x - 3)$ .
2При $x \neq = 3$ сократим на $x - 3$ : $y = 0, 25 x ∣ x ∣$ .
3Раскроем модуль. Случай $x ⩾ 0$ : $y = 0, 25 x^{2}$ , правая половина параболы ветвями вверх с вершиной $(0; 0)$ , проходит через точки $(1; 0, 25)$ и $(2; 1)$ . Случай $x < 0$ : $y = - 0, 25 x^{2}$ , левая половина параболы ветвями вниз, проходит через точки $(- 1; - 0, 25)$ и $(- 2; - 1)$ . Части стыкуются в начале координат, функция возрастает и принимает все значения.
4Из графика выколота точка с абсциссой $3$ : $y = 0, 25 \cdot 3 \cdot ∣3∣ = 2, 25$ , это точка $(3; 2, 25)$ . Каждое значение, кроме $2, 25$ , функция принимает ровно один раз.
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = 2, 25$ (выколотая точка $(3; 2, 25)$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < 2, 25$ одна общая точка; при $m = 2, 25$ общих точек нет; при $m > 2, 25$ одна общая точка.
7Значит, прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек при $m = 2, 25$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = 2, 25$ .
8Ответ: $m = 2, 25$

Пример 3

Постройте график функции

y = \frac{(x^{2} + 3 x) \cdot ∣ x ∣}{x + 3}

. Определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ и решение

Ответ: -9

1Область определения: $x \neq = - 3$ . Вынесем $x$ в числителе: $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ .
2При $x \neq = - 3$ сократим на $x + 3$ : $y = x ∣ x ∣$ .
3Раскроем модуль. Случай $x ⩾ 0$ : $y = x^{2}$ , правая половина параболы ветвями вверх с вершиной $(0; 0)$ , проходит через точки $(1; 1)$ и $(2; 4)$ . Случай $x < 0$ : $y = - x^{2}$ , левая половина параболы ветвями вниз, проходит через точки $(- 1; - 1)$ и $(- 2; - 4)$ . Части стыкуются в начале координат, функция возрастает и принимает все значения.
4Из графика выколота точка с абсциссой $- 3$ : $y = (- 3) \cdot ∣ - 3∣ = - 9$ , это точка $(- 3; - 9)$ . Каждое значение, кроме $- 9$ , функция принимает ровно один раз.
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = - 9$ (выколотая точка $(- 3; - 9)$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < - 9$ одна общая точка; при $m = - 9$ общих точек нет; при $m > - 9$ одна общая точка.
7Значит, прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек при $m = - 9$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = - 9$ .
8Ответ: $m = - 9$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 22

Все 11 типов задания 22 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)