Задание 22 · часть 2 · 2 балла · сложный

Постройте график функции y = x|x| + a|x| + bx: задание 22 ОГЭ по математике

При $x \geq 0$ произведение $x ∣ x ∣ = x^{2}$ , при $x < 0$ оно равно $- x^{2}$ . Поэтому справа получается парабола ветвями вверх, слева ветвями вниз. Части сходятся в начале координат. Особые значения $m$ равны ординатам двух вершин, в них прямая касается графика и общих точек ровно две. Пример: $y = x ∣ x ∣ + ∣ x ∣ - 7 x$ даёт вершины $(3; - 9)$ и $(- 4; 16)$ , ответ $m = - 9$ и $m = 16$ .

Все типы задания 22

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 22 ОГЭ: функция с x|x| и |x|

Раскрой модули при $x \geq 0$ .
Раскрой модули при $x < 0$ .
Найди вершины обеих парабол и проверь их положение.
Построй график и найди значения $m$ через вершины.

Где ошибаются. При $x < 0$ меняют знак у $x ∣ x ∣$ , но забывают, что и $∣ x ∣ = - x$ . Получают $- x^{2} + x - 7 x$ вместо $- x^{2} - x - 7 x = - x^{2} - 8 x$ , и вершина левой части сдвигается.

Как проверить ответ. Подставь вершины в исходную формулу с модулями: $3 \cdot 3 + 3 - 21 = - 9$ и $- 4 \cdot 4 + 4 + 28 = 16$ . Совпало с ординатами вершин.

Правило

∣ a ∣ = a

при

a \geq 0

;

∣ a ∣ = - a

при

a < 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 22: Функция с модулем: раскрытие по промежуткам.

Прототипы банка ФИПИ: 6DCB49, F486F7, 1D2900, 5A5902, 85AFB6

Примеры с решением

Пример 1

Постройте график функции

y = ∣ x ∣ \cdot (x - 2) - 4 x

. Определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ и решение

Ответ: -9; 1

1Функция определена при всех $x$ . Раскроем модуль, рассмотрев оба случая.
2Случай $x ⩾ 0$ : $∣ x ∣ = x$ , $y = x (x - 2) - 4 x = x^{2} - 6 x$ : часть параболы, ветви направлены вверх, вершина $(3; - 9)$ ; она проходит через точки $(0; 0)$ и $(6; 0)$ .
3Случай $x < 0$ : $∣ x ∣ = - x$ , $y = - x (x - 2) - 4 x = - x^{2} - 2 x$ : часть параболы, ветви направлены вниз, вершина $(- 1; 1)$ ; нули $- 2$ и $0$ .
4Обе вершины лежат на своих частях (абсцисса правой вершины положительна, левой отрицательна), части стыкуются в начале координат $(0; 0)$ . Выколотых точек нет.
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = - 9$ (вершина параболы $(3; - 9)$ ); $m = 1$ (вершина параболы $(- 1; 1)$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < - 9$ одна общая точка; при $m = - 9$ две общие точки; при $- 9 < m < 1$ три общие точки; при $m = 1$ две общие точки; при $m > 1$ одна общая точка.
7Значит, прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m = - 9$ и при $m = 1$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = - 9$ , $y = 1$ .
8Ответ: $m = - 9$ ; $m = 1$ , то есть $m \in {- 9; 1}$

Пример 2

Постройте график функции

y = x ∣ x ∣ + ∣ x ∣ - 2 x

. Определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ и решение

Ответ: -0,25; 2,25

1Функция определена при всех $x$ . Раскроем модуль, рассмотрев оба случая.
2Случай $x ⩾ 0$ : $∣ x ∣ = x$ , $y = x (x + 1) - 2 x = x^{2} - x$ : часть параболы, ветви направлены вверх, вершина $(0, 5; - 0, 25)$ ; она проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 0)$ .
3Случай $x < 0$ : $∣ x ∣ = - x$ , $y = - x (x + 1) - 2 x = - x^{2} - 3 x$ : часть параболы, ветви направлены вниз, вершина $(- 1, 5; 2, 25)$ ; нули $- 3$ и $0$ .
4Обе вершины лежат на своих частях (абсцисса правой вершины положительна, левой отрицательна), части стыкуются в начале координат $(0; 0)$ . Выколотых точек нет.
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = - 0, 25$ (вершина параболы $(0, 5; - 0, 25)$ ); $m = 2, 25$ (вершина параболы $(- 1, 5; 2, 25)$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < - 0, 25$ одна общая точка; при $m = - 0, 25$ две общие точки; при $- 0, 25 < m < 2, 25$ три общие точки; при $m = 2, 25$ две общие точки; при $m > 2, 25$ одна общая точка.
7Значит, прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m = - 0, 25$ и при $m = 2, 25$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = - 0, 25$ , $y = 2, 25$ .
8Ответ: $m = - 0, 25$ ; $m = 2, 25$ , то есть $m \in {- 0, 25; 2, 25}$

Пример 3

Постройте график функции

y = x ∣ x ∣ + ∣ x ∣ - 5 x

. Определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ и решение

Ответ: -4; 9

1Функция определена при всех $x$ . Раскроем модуль, рассмотрев оба случая.
2Случай $x ⩾ 0$ : $∣ x ∣ = x$ , $y = x (x + 1) - 5 x = x^{2} - 4 x$ : часть параболы, ветви направлены вверх, вершина $(2; - 4)$ ; она проходит через точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$ .
3Случай $x < 0$ : $∣ x ∣ = - x$ , $y = - x (x + 1) - 5 x = - x^{2} - 6 x$ : часть параболы, ветви направлены вниз, вершина $(- 3; 9)$ ; нули $- 6$ и $0$ .
4Обе вершины лежат на своих частях (абсцисса правой вершины положительна, левой отрицательна), части стыкуются в начале координат $(0; 0)$ . Выколотых точек нет.
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = - 4$ (вершина параболы $(2; - 4)$ ); $m = 9$ (вершина параболы $(- 3; 9)$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < - 4$ одна общая точка; при $m = - 4$ две общие точки; при $- 4 < m < 9$ три общие точки; при $m = 9$ две общие точки; при $m > 9$ одна общая точка.
7Значит, прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m = - 4$ и при $m = 9$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = - 4$ , $y = 9$ .
8Ответ: $m = - 4$ ; $m = 9$ , то есть $m \in {- 4; 9}$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 22

Половина суммы с модулем разностипро
Дробь с модулем, сокращение до x|x|сложный
Гипербола с выколотой точкой и y = kxсложный
Гипербола после сокращения дробисложный
Кусочная функция: парабола и лучсложный
Дробь с модулем и прямая y = kxпро
Парабола с выколотой точкой и y = kxпро

Все 11 типов задания 22 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)