Задание 22 · часть 2 · 2 балла · сложный

Постройте график функции y = x² + bx + c|x − a|: задание 22 ОГЭ по математике

Раскрой модуль на двух промежутках: получатся две параболы с разными вершинами. Проверь, что каждая вершина лежит на своём промежутке: если нет, на графике будет только кусок без вершины. Ровно три общие точки бывают, когда прямая проходит через одну из вершин или через точку излома. В примере $y = x^{2} - 2 x - 3 ∣ x - 2 ∣$ это $m = - 0,25$ и $m = 0$ .

Все типы задания 22

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 22 ОГЭ: парабола с модулем линейного выражения

Найди нуль выражения под модулем.
Раскрой модуль на каждом промежутке и найди вершины парабол.
Построй обе части и точку излома.
Двигай прямую $y = m$ и найди значения с тремя общими точками.

Где ошибаются. При $x < 2$ модуль раскрывают без смены знака. Там $∣ x - 2 ∣ = 2 - x$ , поэтому $- 3 ∣ x - 2 ∣ = 3 x - 6$ и $y = x^{2} + x - 6$ , а не $x^{2} - 5 x + 6$ .

Как проверить ответ. Подставь по точке с каждой стороны от излома в исходную и в раскрытую формулу: при $x = 0$ обе дают $- 6$ , при $x = 3$ обе дают 0. В самой точке $x = 2$ сверка ничего не покажет.

Правило

∣ a ∣ = a

при

a \geq 0

;

∣ a ∣ = - a

при

a < 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 22: Функция с модулем: раскрытие по промежуткам.

Прототипы банка ФИПИ: 675547, F708B3, F98AF0, A58BF6, 0B2341

Примеры с решением

Пример 1

Постройте график функции

y = x^{2} + x - 4 ∣ x + 2 ∣ - 2

и определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ и решение

Ответ: -0,25; 0

1Функция определена при всех $x$ . Раскроем модуль, рассмотрев оба случая.
2Случай $x ⩾ - 2$ : $∣ x + 2∣ = x + 2$ , $y = x^{2} - 3 x - 10 = (x + 2) (x - 5)$ : часть параболы, ветви направлены вверх, нули $- 2$ и $5$ , вершина $(1, 5; - 12, 25)$ (она лежит на этой части).
3Случай $x < - 2$ : $∣ x + 2∣ = - (x + 2)$ , $y = x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ : часть параболы, ветви направлены вверх, нули $- 3$ и $- 2$ , вершина $(- 2, 5; - 0, 25)$ (она лежит на этой части).
4Части стыкуются в точке $(- 2; 0)$ . График похож на букву «W»: две «ямы» с вершинами $(- 2, 5; - 0, 25)$ и $(1, 5; - 12, 25)$ , между ними точка излома $(- 2; 0)$ (она принадлежит графику). Выколотых точек нет.
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = - 12, 25$ (вершина параболы $(1, 5; - 12, 25)$ ); $m = - 0, 25$ (вершина параболы $(- 2, 5; - 0, 25)$ ); $m = 0$ (закрашенный конец части $(- 2; 0)$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < - 12, 25$ общих точек нет; при $m = - 12, 25$ одна общая точка; при $- 12, 25 < m < - 0, 25$ две общие точки; при $m = - 0, 25$ три общие точки; при $- 0, 25 < m < 0$ четыре общие точки; при $m = 0$ три общие точки; при $m > 0$ две общие точки.
7Значит, прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки при $m = - 0, 25$ и при $m = 0$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = - 0, 25$ , $y = 0$ .
8Ответ: $m = - 0, 25$ ; $m = 0$ , то есть $m \in {- 0, 25; 0}$

Пример 2

Постройте график функции

y = x^{2} + 8 x - 4 ∣ x + 5 ∣ + 15

и определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ и решение

Ответ: -1; 0

1Функция определена при всех $x$ . Раскроем модуль, рассмотрев оба случая.
2Случай $x ⩾ - 5$ : $∣ x + 5∣ = x + 5$ , $y = x^{2} + 4 x - 5 = (x + 5) (x - 1)$ : часть параболы, ветви направлены вверх, нули $- 5$ и $1$ , вершина $(- 2; - 9)$ (она лежит на этой части).
3Случай $x < - 5$ : $∣ x + 5∣ = - (x + 5)$ , $y = x^{2} + 12 x + 35 = (x + 5) (x + 7)$ : часть параболы, ветви направлены вверх, нули $- 7$ и $- 5$ , вершина $(- 6; - 1)$ (она лежит на этой части).
4Части стыкуются в точке $(- 5; 0)$ . График похож на букву «W»: две «ямы» с вершинами $(- 6; - 1)$ и $(- 2; - 9)$ , между ними точка излома $(- 5; 0)$ (она принадлежит графику). Выколотых точек нет.
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = - 9$ (вершина параболы $(- 2; - 9)$ ); $m = - 1$ (вершина параболы $(- 6; - 1)$ ); $m = 0$ (закрашенный конец части $(- 5; 0)$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < - 9$ общих точек нет; при $m = - 9$ одна общая точка; при $- 9 < m < - 1$ две общие точки; при $m = - 1$ три общие точки; при $- 1 < m < 0$ четыре общие точки; при $m = 0$ три общие точки; при $m > 0$ две общие точки.
7Значит, прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки при $m = - 1$ и при $m = 0$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = - 1$ , $y = 0$ .
8Ответ: $m = - 1$ ; $m = 0$ , то есть $m \in {- 1; 0}$

Пример 3

Постройте график функции

y = 2 ∣ x + 8 ∣ - x^{2} - 15 x - 56

и определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ и решение

Ответ: 0; 0,25

1Функция определена при всех $x$ . Раскроем модуль, рассмотрев оба случая.
2Случай $x ⩾ - 8$ : $∣ x + 8∣ = x + 8$ , $y = - x^{2} - 13 x - 40 = - (x + 8) (x + 5)$ : часть параболы, ветви направлены вниз, нули $- 8$ и $- 5$ , вершина $(- 6, 5; 2, 25)$ (она лежит на этой части).
3Случай $x < - 8$ : $∣ x + 8∣ = - (x + 8)$ , $y = - x^{2} - 17 x - 72 = - (x + 8) (x + 9)$ : часть параболы, ветви направлены вниз, нули $- 9$ и $- 8$ , вершина $(- 8, 5; 0, 25)$ (она лежит на этой части).
4Части стыкуются в точке $(- 8; 0)$ . График похож на букву «M»: две «горки» с вершинами $(- 8, 5; 0, 25)$ и $(- 6, 5; 2, 25)$ , между ними точка излома $(- 8; 0)$ (она принадлежит графику). Выколотых точек нет.
5Прямая $y = m$ параллельна оси $O x$ (при $m = 0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m = 0$ (закрашенный конец части $(- 8; 0)$ ); $m = 0, 25$ (вершина параболы $(- 8, 5; 0, 25)$ ); $m = 2, 25$ (вершина параболы $(- 6, 5; 2, 25)$ ).
6Двигаем прямую $y = m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m < 0$ две общие точки; при $m = 0$ три общие точки; при $0 < m < 0, 25$ четыре общие точки; при $m = 0, 25$ три общие точки; при $0, 25 < m < 2, 25$ две общие точки; при $m = 2, 25$ одна общая точка; при $m > 2, 25$ общих точек нет.
7Значит, прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки при $m = 0$ и при $m = 0, 25$ . На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y = 0$ , $y = 0, 25$ .
8Ответ: $m = 0$ ; $m = 0, 25$ , то есть $m \in {0; 0, 25}$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 22

Функция с x|x| и |x|сложный
Половина суммы с модулем разностипро
Дробь с модулем, сокращение до x|x|сложный
Гипербола с выколотой точкой и y = kxсложный
Гипербола после сокращения дробисложный
Дробь с модулем и прямая y = kxпро
Парабола с выколотой точкой и y = kxпро

Все 11 типов задания 22 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)