Вписанная и описанная окружности четырёхугольника: задания

0 из 10

Вписанная и описанная окружности четырёхугольника

…

Примеры заданий с ответами

1Стороны выпуклого четырёхугольника

A B C D

A B = 9

B C = 10

C D = 6

D A = 4

. Можно ли вписать в него окружность?

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
$A B + C D = 9 + 6 = 15$ , $B C + D A = 10 + 4 = 14$ .
$15 \neq = 14$ , поэтому окружность вписать нельзя.
Ответ: нельзя.

2Углы выпуклого четырёхугольника

A B C D

∠ A = 83°

∠ B = 125°

∠ C = 97°

. Можно ли описать около него окружность?

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180°$ .
Сумма углов четырёхугольника $360°$ : $∠ D = 360° - 83° - 125° - 97° = 55°$ .
$∠ A + ∠ C = 83° + 97° = 180°$ , $∠ B + ∠ D = 125° + 55° = 180°$ .
Суммы противоположных углов равны $180°$ , поэтому окружность описать можно.
Ответ: можно.

3Сторона

A D

четырёхугольника

A B C D

является диаметром окружности, описанной около него.

∠ A B C = 147°

∠ B C D = 102°

. Найдите угол

B D A

. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180°$ : $∠ B A D = 180° - 102° = 78°$ .
Вписанный угол $A B D$ опирается на диаметр $A D$ , поэтому $∠ A B D = 90°$ .
Из треугольника $A B D$ : $∠ B D A = 180° - 90° - 78° = 12°$ .

Ответ: 12