Системы уравнений второй степени: задания с ответами, 9 класс

0 из 10

Системы уравнений второй степени

…

Примеры заданий с ответами

1Является ли пара

(2; 1)

решением системы

{x^{2} + y^{2} = 5 x - y = 1

? Ответь «да» или «нет».

Подставляем $x = 2, y = 1$ в первое уравнение: $2^{2} + 1^{2} = 4 + 1 = 5$ — верно.
Проверяем второе: $x - y = 2 - 1 = 1$ — тоже верно, значит пара удовлетворяет обоим уравнениям.
Ответ: да.

2Реши систему

{y = x^{2} + 1 x = 2

. Найди

y

3Периметр прямоугольника

14

см, площадь

12

см². Найди бо́льшую сторону (в см).

4При

{x + y = 3 x y = 2

найди

x^{3} + y^{3}

5Реши систему

{x + y = 4 x y = 3

. Запиши все решения через запятую.

По обратной теореме Виета $x$ и $y$ — корни уравнения $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ (сумма $4$ , произведение $3$ ).
Корни $t = 1$ и $t = 3$ , поэтому подходят обе пары $(1; 3)$ и $(3; 1)$ .
Ответ: $(1; 3)$ и $(3; 1)$ .

6Реши

{x^{2} + y^{2} = 25 ∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 7

и найди наибольшее значение

∣ x ∣

В силу модулей достаточно рассмотреть $x \geq 0, y \geq 0$ : тогда $x^{2} + y^{2} = 25$ и $x + y = 7$ .
Из $x + y = 7$ имеем $y = 7 - x$ , подставим: $x^{2} + (7 - x)^{2} = 25$ , то есть $2 x^{2} - 14 x + 24 = 0$ , $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
Корни $x = 3$ и $x = 4$ (им отвечают $y = 4$ и $y = 3$ ). Наибольшее $∣ x ∣ = 4$ .
Ответ: $4$ .