Площадь трапеции: формула и как найти

Трапеция это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

• Параллельные стороны называют основаниями: $a$ и $b$.
• Две другие стороны называют боковыми.
• Высота $h$ это перпендикуляр от одного основания к другому, расстояние между ними.

Бывает равнобедренная трапеция, у неё боковые стороны равны. И прямоугольная: одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и сама служит высотой.

Откуда формула: приставь к трапеции такую же, перевёрнутую. Получится параллелограмм с основанием $a+b$ и той же высотой. Его площадь $(a+b)\cdot h$, а трапеция занимает ровно половину.

Пример. Основания 4 см и 10 см, высота 6 см.

$S=\frac{4+10}{2}\cdot 6=7\cdot 6=42{\text{ см}}^2$

Средняя линия соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме: $m=\frac{a+b}{2}$.

Пример. Средняя линия 7 см, высота 5 см: $S=7\cdot 5=35$ см².

В прямоугольной трапеции высота уже нарисована: это боковая сторона, которая перпендикулярна основаниям.

Пример. Основания 3 см и 7 см, боковая сторона под прямым углом 4 см.

$S=\frac{3+7}{2}\cdot 4=5\cdot 4=20{\text{ см}}^2$

Вторую, наклонную боковую сторону в формулу не подставляют.

Если высота не дана, её находят по теореме Пифагора.

Пример. Основания 4 см и 10 см, боковые стороны по 5 см.

1. Опусти высоты из концов верхнего основания. От нижнего основания отрезаются два одинаковых куска: $(10-4):2=3$ см.
2. Получился прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 и катетом 3. Высота $h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\text{см}$.
3. Площадь:

$S=\frac{4+10}{2}\cdot 4=28{\text{ см}}^2$

Формулу можно повернуть в любую сторону.

Высота: $h=\frac{2S}{a+b}$. Площадь 48 см², основания 5 и 11 см: $h=\frac{96}{16}=6$ см.

Основание: $b=\frac{2S}{h}-a$. Площадь 30 см², высота 5 см, одно основание 4 см: $b=\frac{60}{5}-4=8$ см.

В задании 18 ОГЭ трапецию рисуют на клетках размером 1 × 1. Длины считают по клеткам.

Пример. Нижнее основание 7 клеток, верхнее 3 клетки, высота 4 клетки.

$S=\frac{3+7}{2}\cdot 4=20$

Высоту считай по вертикали между основаниями, а не вдоль наклонной стороны.

• Забыли разделить на 2. Для оснований 4 и 10 и высоты 6 получили 84 вместо 42.
• Подставили боковую сторону вместо высоты. Так можно только в прямоугольной трапеции и только с перпендикулярной стороной.
• Сложили все четыре стороны. Это периметр, а не площадь.
• В равнобедренной вычли всю разность оснований. Отрезок у основания равен половине разности: $(10-4):2=3$, а не 6.
• Перепутали единицы. Площадь пишут в квадратных сантиметрах: см².
• Посчитали высоту по наклонной клетке. На клетчатой бумаге высота идёт строго по вертикали.