Площадь параллелограмма: формулы и как найти

Параллелограмм это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Они же попарно равны.

Высота это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. У параллелограмма две разные высоты: одна к стороне $a$, другая к стороне $b$.

Прямоугольник, ромб и квадрат тоже параллелограммы, поэтому все формулы ниже работают и для них.

Откуда формула: отрежь от параллелограмма треугольник по высоте и приставь его с другой стороны. Получится прямоугольник со сторонами $a$ и $h$, площадь та же.

Пример. Сторона 8 см, высота к ней 5 см.

$S=8\cdot 5=40{\text{ см}}^2$

Площадь можно посчитать от любой стороны: $S=a\cdot h_a=b\cdot h_b$. Отсюда находят вторую высоту.

Пример. Стороны 12 см и 8 см, высота к стороне 12 равна 4 см.

1. Площадь: $S=12\cdot 4=48$ см².
2. Высота к стороне 8: $h=48:8=6$ см.

К меньшей стороне проведена бо́льшая высота. Если вышло наоборот, ищи ошибку.

Эту формулу проходят в 9 классе, когда знакомятся с синусом.

Пример 1. Стороны 6 см и 10 см, угол 30°. Синус 30° равен $\frac{1}{2}$:

$S=6\cdot 10\cdot \frac{1}{2}=30{\text{ см}}^2$

Пример 2. Стороны 4 и 5, угол 60°: $S=4\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx 17,32$.

У соседних углов параллелограмма синусы равны: $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }$. Поэтому неважно, какой из двух углов взять.

Пример. Диагонали 10 и 8, угол между ними 30°: $S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=20$.

У ромба диагонали перпендикулярны, синус 90° равен 1. Остаётся половина произведения диагоналей:

$S=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$

Диагонали ромба 6 см и 8 см: $S=\frac{6\cdot 8}{2}=24$ см².

Формулу $S=a\cdot h$ поворачивают в любую сторону.

• Высота: $h=\frac{S}{a}$. Площадь 48 см², сторона 8 см: $h=6$ см.
• Сторона: $a=\frac{S}{h}$. Площадь 56 см², высота 7 см: $a=8$ см.

В задании 17 параллелограмм встречается в разных видах: площадь через высоту, высоты параллелограмма, углы и биссектрисы. В задании 18 площадь считают по клеткам: длину стороны и высоту отсчитывают по линиям сетки.

В задании 18 высоту ищи по вертикали или горизонтали, а не вдоль наклонной стороны.

• Умножили две соседние стороны. Так считают только прямоугольник. У параллелограмма нужна высота или синус угла.
• Взяли высоту к другой стороне. Пару «сторона и высота» бери так, чтобы высота была опущена именно на эту сторону.
• Разделили на 2. Половину берут у треугольника и в формуле через диагонали, а $S=a\cdot h$ без деления.
• Забыли синус. $S=a\cdot b$ без синуса верно только для прямоугольника.
• Для ромба умножили диагонали без деления. Диагонали 6 и 8 дают 24, а не 48.
• Перепутали единицы. Площадь пишут в квадратных единицах: см², м².