Задание 17 ОГЭ по математике: четырёхугольники

Ответ: 63

1. 1Противоположные углы параллелограмма равны, а углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180°$.
2. 2Значит, у параллелограмма два угла по $117°$ и два по $180°-117°=63°$.
3. 3Меньший угол равен $63°$.

Ответ: 117

1. 1В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают $180°$.
2. 2Углы трапеции: два по $63°$ и два по $180°-63°=117°$. Больший угол $117°$.

Ответ: 130

1. 1Ромб является параллелограммом: противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180°$.
2. 2Углы ромба: два по $50°$ и два по $180°-50°=130°$. Больший угол $130°$.

Ответ: 5

1. 1Проведём высоту $CH$, $HD=4$, $AH=9$. Проведём вторую высоту $BK$. Прямоугольные треугольники $ABK$ и $DCH$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $AK=HD=4$.
2. 2$KBCH$ является прямоугольником, поэтому $BC=KH=AH-AK=9-4=5$.

Ответ: 19,5

1. 1Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: $DO=BD:2=39:2=19,5$.
2. 2Длины $AC$ и $AB$ для ответа не нужны.

Ответ: 12

1. 1Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: $AC=BD=2\cdot BO=12$.
2. 2Длина $AB$ для ответа не нужна.

Ответ: 14,5

1. 1Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $\frac{11+18}{2}=14,5$.
2. 2Высота для ответа не нужна.

Ответ: 102,5

1. 1Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $S=\frac{19+22}{2}\cdot 5=102,5$.

Ответ: 156

1. 1Основание параллелограмма $AB=5+8=13$, высота к нему $DH=12$.
2. 2$S=13\cdot 12=156$. Сторона $AD$ для ответа не нужна.

Ответ: 128

1. 1Высота параллелограмма равна $8$, она делит сторону, к которой проведена, на отрезки $6$ и $10$, поэтому эта сторона равна $6+10=16$.
2. 2Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней: $S=16\cdot 8=128$. Длина боковой стороны $10$ для ответа не нужна.
3. 3Ответ: $128$

Ответ: 70

1. 1Угол $A$ параллелограмма диагональ делит на два данных угла: $\angle A=48°+62°=110°$.
2. 2Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180°$: соседний угол равен $180°-110°=70°$.
3. 3Меньший угол параллелограмма равен $70°$.

Ответ: 74

1. 1Пусть биссектриса $AK$ пересекает $BC$ в точке $K$. $\angle AKB=\angle KAD$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $AK$.
2. 2$\angle KAD=53°$, а весь угол $A$ вдвое больше: $\angle A=2\cdot 53°=106°$.
3. 3Угол $A$ тупой, острый угол параллелограмма равен $180°-106°=74°$.

Ответ: 29

1. 1Углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают $180°$, а здесь сумма $302°$. Значит, это два угла при одном основании, и они равны: $302°:2=151°$.
2. 2Два других угла по $180°-151°=29°$.
3. 3Меньший угол трапеции равен $29°$.

Ответ: 42

1. 1Соседние углы ромба в сумме дают $180°$: $\angle BCD=180°-96°=84°$.
2. 2Диагональ ромба делит его угол пополам: $\angle ACD=84°:2=42°$.

Ответ: 24

1. 1Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $AO=BO$ и треугольник $AOB$ равнобедренный.
2. 2$\angle OBA=\angle OAB=12°$, $\angle AOB=180°-2\cdot 12°=156°$.
3. 3Диагонали образуют углы $156°$ и $24°$, острый из них $24°$.

Ответ: 51

1. 1Трапеция равнобедренная, поэтому $\angle A=\angle D=62°$.
2. 2 $\angle CAD=\angle A-\angle BAC=62°-11°=51°$.
3. 3$BC\parallel AD$, поэтому $\angle ACB=\angle CAD=51°$ как накрест лежащие при секущей $AC$.

Ответ: 36

1. 1По теореме Пифагора $d^2=a^2+a^2=2a^2$, то есть $d=a\sqrt{2}$.
2. 2 $d=18\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18\cdot 2=36$.

Ответ: 6,5

1. 1Диагональ делит трапецию на два треугольника, и средняя линия трапеции состоит из средних линий этих треугольников.
2. 2Эти отрезки равны половинам оснований: $9:2=4,5$ и $13:2=6,5$. Больший из них $6,5$.

Ответ: 23,5

1. 1Острый угол ромба равен $30°$. Высота $DH$ лежит против этого угла в прямоугольном треугольнике $ADH$ с гипотенузой $AD=47$.
2. 2Катет против угла $30°$ равен половине гипотенузы: $h=47:2=23,5$.

Ответ: 12,5

1. 1Сторона ромба $20:4=5$. Острый угол ромба $30°$, высота лежит против него в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 5, поэтому $h=5:2=2,5$.
2. 2 $S=a\cdot h=5\cdot 2,5=12,5$.

Ответ: 43,75

1. 1Проведём высоту $BH$. В равнобедренной трапеции $AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{16-9}{2}=3,5$.
2. 2Треугольник $ABH$ прямоугольный с углом $45°$, значит, равнобедренный: $BH=AH=3,5$.
3. 3 $S=\frac{9+16}{2}\cdot 3,5=43,75$.

Ответ: 2

1. 1Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
2. 2Высота к стороне 5: $38:5=7,6$; высота к стороне 19: $38:19=2$.
3. 3Меньшая высота равна $2$.

Ответ: 15

1. 1Треугольник $ABH$ прямоугольный с углом $45°$, значит, равнобедренный: $AH=BH=2$. У другой боковой стороны отсекается такой же отрезок.
2. 2 $AD=BC+2\cdot AH=11+2\cdot 2=15$.

Ответ: 384

1. 1Пусть $O$ точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: $OC=16$, $OB=OC\cdot \mathrm{tg}\angle BCA=12$.
2. 2$BD=2\cdot OB=24$, $S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{32\cdot 24}{2}=384$.

Ответ: 11

1. 1В треугольнике $ACD$: $\angle CAD=180°-\angle D-\angle ACD=180°-57°-112°=11°$.
2. 2$BC\parallel AD$, поэтому $\angle ACB=\angle CAD=11°$ как накрест лежащие при секущей $AC$.
3. 3Ответ: $11$

Ответ: 25

1. 1Высота отсекает прямоугольный треугольник с углом $45°$, он равнобедренный: отрезок большего основания от вершины до высоты равен высоте, то есть $6$. У другой боковой стороны отсекается такой же отрезок.
2. 2Большее основание: $13+2\cdot 6=25$.
3. 3Ответ: $25$

Ответ: 50

1. 1Острый угол ромба равен $80°$. Большая диагональ соединяет вершины острых углов и делит их пополам: со стороной она образует угол $40°$.
2. 2Высота перпендикулярна стороне. В прямоугольном треугольнике, который образуют сторона, высота и диагональ, искомый угол равен $90°-40°=50°$.

Ответ: 51

1. 1Пусть $AD$ большее основание и проведена диагональ $AC$, $\angle BAC=14°$, $\angle ACD=92°$. Обозначим $\angle CAD=\angle ACB=t$ (накрест лежащие при $BC\parallel AD$).
2. 2Трапеция равнобедренная, поэтому $\angle B=\angle C=92°+t$, а $\angle A+\angle B=180°$: $14°+t+92°+t=180°$, $t=37°$.
3. 3Угол при большем основании: $\angle A=14°+37°=51°$.

Ответ: 84

1. 1Трапеция равнобедренная, поэтому $\angle BAD=\angle D=64°$. $AC$ делит его пополам: $\angle CAD=64°:2=32°$.
2. 2В треугольнике $ACD$: $\angle ACD=180°-64°-32°=84°$.

Ответ: 8,5

1. 1Пусть $AD=14$, $BC=3$, $\angle CAD=45°$. Проведём высоту $CH$. В равнобедренной трапеции $HD=\frac{AD-BC}{2}$, поэтому $AH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{14+3}{2}=8,5$.
2. 2Прямоугольный треугольник $ACH$ с углом $45°$ равнобедренный: $CH=AH=8,5$.