Элементы комбинаторики: задания и примеры с ответами, 9 класс

0 из 10

Элементы комбинаторики

…

Примеры заданий с ответами

13 видов супа и 2 вторых блюд. Сколько разных обедов (суп + второе)?

Ответ: 6

2В кафе

3

вида супа и

4

вида второго блюда. Сколькими способами можно выбрать обед из супа и второго?

По правилу умножения: если первый выбор делается $a$ способами, а второй $b$ способами, то вместе — $a \cdot b$ способами.
Суп можно выбрать $3$ способами, второе блюдо — $4$ способами.
Всего вариантов обеда: $3 \cdot 4 = 12$ .
Ответ: $12$ .

3Сколько трёхзначных чисел, не содержащих повторяющихся цифр, можно составить из цифр

1, 2, 3, 4, 5

Цифры в числе различны и порядок важен — это размещения из $5$ по $3$ (нуля среди цифр нет, поэтому первая цифра любая).
Считаем: $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ .
Ответ: $60$ чисел.

4Из

10

предметов, среди которых один нужный, наугад выбирают

4

. Сколькими способами можно выбрать так, чтобы среди выбранных был хотя бы один нужный? (Метод дополнения.)

Всего способов выбрать $4$ из $10$ : $C_{10}^{4} = 210$ .
Без нужного предмета выбираем $4$ из остальных $9$ : $C_{9}^{4} = 126$ .
Хотя бы один нужный: $210 - 126 = 84$ . Проверка: нужный берём, остальные $3$ из $9$ : $C_{9}^{3} = 84$ .
Ответ: $84$ .

5По тождеству Паскаля

C_{n}^{k} + C_{n}^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}

вычисли значение суммы

C_{6}^{2} + C_{6}^{3}

По тождеству Паскаля соседние сочетания одной строки складываются в сочетание следующей: $C_{6}^{2} + C_{6}^{3} = C_{7}^{3}$ .
Вычисляем: $C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$ .
Проверка напрямую: $C_{6}^{2} = 15$ , $C_{6}^{3} = 20$ , сумма $15 + 20 = 35$ .
Ответ: $35$ .

6В колоде

10

карточек с числами

1

–

10

наугад выкладывают

3

в ряд. В скольких раскладах сумма трёх чисел нечётна, и какова доля таких раскладов среди всех? Запиши: число раскладов; доля.

Нечётная сумма получается из трёх нечётных или из одного нечётного и двух чётных: $C_{5}^{3} + C_{5}^{1} \cdot C_{5}^{2} = 10 + 50 = 60$ наборов.
С учётом порядка: $60 \cdot 3! = 360$ раскладов.
Всего раскладов $A_{10}^{3} = 720$ , доля $\frac{360}{720} = \frac{1}{2}$ .
Ответ: $360$ ; $\frac{1}{2}$