Разложение на множители способом группировки: задания

0 из 10

Разложение на множители (группировка)

…

Примеры заданий с ответами

1Разложи на множители:

b x + b y + 2 x + 2 y

Ответ:

(b + 2) (x + y)

2Сколько слагаемых нужно сгруппировать в две пары при разложении многочлена группировкой?

3Разложи на множители:

a x^{2} + a y - b x^{2} - b y + c x^{2} + cy

4Разложи на множители полностью:

a^{2} - b^{2} + a + b

Группируем первые два члена и последние два: $(a^{2} - b^{2}) + (a + b)$ .
Первую скобку разложим по формуле разности квадратов: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , получаем $(a + b) (a - b) + (a + b)$ .
Выносим общий множитель $(a + b)$ : $(a + b) (a - b + 1)$ .
Ответ: $(a + b) (a - b + 1)$ .

5Найди остаток от деления выражения

n^{3} + 3 n^{2} + 2 n

на

6

при любом натуральном

n

Выносим $n$ : $n^{3} + 3 n^{2} + 2 n = n (n^{2} + 3 n + 2)$ .
Трёхчлен раскладывается: $n^{2} + 3 n + 2 = (n + 1) (n + 2)$ , значит $n (n + 1) (n + 2)$ — три подряд идущих числа.
Среди трёх последовательных чисел есть кратное $2$ и кратное $3$ , поэтому произведение делится на $6$ .
Ответ: $0$ .

6Упрости:

\frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )}

, представив каждое слагаемое как разность.

Каждую дробь представим как разность: $\frac{1}{x ( x + 1 )} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ , и так далее для остальных.
Сумма становится телескопической: $(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) + (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}) + (\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3})$ , промежуточные члены сокращаются.
Остаётся $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{( x + 3 ) - x}{x ( x + 3 )} = \frac{3}{x ( x + 3 )}$ .
Ответ: $\frac{3}{x ( x + 3 )}$ .