Площадь трапеции: задания и примеры с ответами, 8 класс

0 из 10

Площадь трапеции

…

Примеры заданий с ответами

1Основания трапеции равны

4

10

, а высота равна

13

. Найдите площадь этой трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $S = \frac{4 + 10}{2} \cdot 13 = 91$ .

Ответ: 91

2В равнобедренной трапеции основания равны

9

33

, а один из углов между боковой стороной и основанием равен

45°

. Найдите площадь этой трапеции.

Проведём высоту $B H$ . В равнобедренной трапеции $A H = \frac{A D - B C}{2} = \frac{33 - 9}{2} = 12$ .
Треугольник $A B H$ прямоугольный с углом $45°$ , значит, равнобедренный: $B H = A H = 12$ .
$S = \frac{9 + 33}{2} \cdot 12 = 252$ .

Ответ: 252

3Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны

3

13

, а диагонали делят её тупые углы пополам.

Пусть $A B C D$ трапеция, $B C = 3$ , $A D = 13$ , диагональ $B D$ делит угол $B$ пополам. $∠ C B D = ∠ A D B$ как накрест лежащие при $B C ∥ A D$ , поэтому $∠ A B D = ∠ A D B$ и $A B = A D = 13$ .
Проведём высоту $B H$ : $A H = \frac{A D - B C}{2} = 5$ , $B H = A B^{2} - A H^{2} = 169 - 25 = 12$ .
$S = \frac{3 + 13}{2} \cdot 12 = 96$ .

Ответ: 96

4Основания равнобокой трапеции равны

2

8

. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противолежащих сторон равны: $A B + C D = A D + B C = 10$ , поэтому боковая сторона равна $\frac{10}{2} = 5$ .
Проведём высоту $B K$ : $A K = \frac{8 - 2}{2} = 3$ , $B K = A B^{2} - A K^{2} = 25 - 9 = 4$ .
$S = \frac{2 + 8}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ .

Ответ: 20

5Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны

15

39

, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Пусть $A B C D$ трапеция, $A D = 39$ , $B C = 15$ , $A C ⊥ C D$ , $C H$ высота. $H D = \frac{A D - B C}{2} = 12$ , $A H = 39 - 12 = 27$ .
В прямоугольном треугольнике $A C D$ высота $C H$ проведена к гипотенузе, поэтому $C H^{2} = A H \cdot H D = 27 \cdot 12 = 324$ , $C H = 18$ .
$S = \frac{39 + 15}{2} \cdot 18 = 27 \cdot 18 = 486$ .

Ответ: 486

6В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки

13

37

. Найдите площадь трапеции.

Пусть $A B C D$ трапеция ( $B C ∥ A D$ ), диагональ $A C$ делит угол $A$ пополам и пересекает среднюю линию $M N$ в точке $E$ . $M E$ является средней линией треугольника $A B C$ , а $E N$ средней линией треугольника $A C D$ , поэтому $B C = 2 \cdot 13 = 26$ , $A D = 2 \cdot 37 = 74$ .
$∠ B C A = ∠ C A D$ как накрест лежащие, $∠ C A D = ∠ B A C$ , поэтому треугольник $A B C$ равнобедренный: $A B = B C = 26$ .
Высота $B H$ : $A H = \frac{A D - B C}{2} = 24$ , $B H = A B^{2} - A H^{2} = 676 - 576 = 10$ .
$S = \frac{A D + B C}{2} \cdot B H = 50 \cdot 10 = 500$ .

Ответ: 500