Площадь параллелограмма: задания с ответами, 8 класс

0 из 10

Площадь параллелограмма

…

Примеры заданий с ответами

1Высота

D H

параллелограмма

A B C D

делит сторону

A B

на отрезки

A H = 5

H B = 10

. Найдите площадь параллелограмма, если

D H = 12

A D = 13

Ответ: 180

2Площадь параллелограмма равна

156

, а две его стороны равны

10

26

. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
Высота к стороне 10: $156 : 10 = 15, 6$ ; высота к стороне 26: $156 : 26 = 6$ .
Меньшая высота равна $6$ .

Ответ: 6

3Стороны параллелограмма равны

9

15

, а сумма двух его неравных высот равна

8

. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть $h_{1}$ является высотой, проведённой к стороне $9$ , а $h_{2}$ к стороне $15$ . $S = 9 h_{1} = 15 h_{2}$ , поэтому $h_{1} : h_{2} = 15 : 9 = 5 : 3$ .
Пусть $h_{1} = 5 x$ , $h_{2} = 3 x$ . Тогда $8 x = 8$ , $x = 1$ , $h_{1} = 5$ , $h_{2} = 3$ .
$S = 9 \cdot 5 = 45$ .

Ответ: 45

4Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны

8

17

, а одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

Пусть $A B C D$ параллелограмм, $A D = 8$ , $A B = 17$ , диагональ $B D ⊥ A D$ . Треугольник $A B D$ прямоугольный.
$B D = A B^{2} - A D^{2} = 289 - 64 = 15$ .
$B D$ является высотой, проведённой к стороне $A D$ : $S = A D \cdot B D = 8 \cdot 15 = 120$ .

Ответ: 120

5Найдите площадь ромба, если его высота равна

9

, а большая диагональ равна

15

Пусть $A B C D$ ромб, $A C = 15$ его большая диагональ, $C H$ высота, проведённая к прямой $A D$ , $C H = 9$ .
Из прямоугольного треугольника $A C H$ : $A H = A C^{2} - C H^{2} = 225 - 81 = 12$ .
Пусть сторона ромба равна $x$ , тогда $D H = 12 - x$ . Из треугольника $C D H$ : $x^{2} = 9^{2} + (12 - x)^{2}$ , $24 x = 225$ , $x = 9, 375$ .
$S = A D \cdot C H = 9, 375 \cdot 9 = 84, 375$ .

Ответ: 84,375

6Меньшая сторона параллелограмма равна

29

. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки

36

15

. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть $A B C D$ параллелограмм, $A B = 29$ , $O$ точка пересечения диагоналей, $O K ⊥ A D$ , $A K = 36$ , $K D = 15$ . Проведём высоту $B H$ .
$O$ является серединой $B D$ и $O K ∥ B H$ , поэтому $O K$ является средней линией треугольника $B H D$ : $H K = K D = 15$ .
$A H = A K - H K = 36 - 15 = 21$ , $B H = A B^{2} - A H^{2} = 841 - 441 = 20$ .
$A D = 36 + 15 = 51$ , $S = A D \cdot B H = 51 \cdot 20 = 1020$ .

Ответ: 1020